2.4. Построение изображений в линзах

Изображением точки S в линзе будет точка пересечения всех преломленных лучей или их продолжений. В первом случае изображение действительное, во втором — мнимое. Как всегда, чтобы найти точку пересечения всех лучей, достаточно построить любые два. Мы можем это сделать, пользуясь вторым законом преломления. Для этого надо измерить угол падения произвольного луча, сосчитать угол преломления, построить преломленный луч, который под каким-то углом упадет на другую грань линзы. Измерив этот угол падения, надо вычислить новый угол преломления и построить выходящий луч. Как видите, работа достаточно трудоемкая, поэтому обычно ее избегают. По известным свойствам линз можно построить три луча без всяких вычислений. Луч, падающий параллельно какой-либо оптической оси, после двойного преломления пройдет через действительный фокус или его продолжения пройдет через мнимый фокус. По закону обратимости луч, падающий по направлению на соответствующий фокус, после двойного преломления выйдет параллельно определенной оптической оси. Наконец, через оптический центр линзы луч пройдет, не отклоняясь.

На рис. 7 построено изображения точки S в собирающей линзе, на рис. 8 — в рассеивающей. При таких построениях изображают главную оптическую ось и на ней показывают фокусные расстояния F (расстояния от главных фокусов или от фокальных плоскостей до оптического центра линзы) и двойные фокусные расстояния (для собирающих линз). Затем ищут точку пересечения преломленных лучей (или их продолжений), используя любые два из вышеперечисленных.

Обычно вызывает затруднение построение изображения точки, расположенной на главной оптической оси. Для такого построения нужно взять любой луч, который будет параллелен какой-то побочной оптической оси (пунктир на рис. 9). После двойного преломления он пройдет через побочный фокус, который лежит в точке пересечения этой побочной оси и фокальной плоскости. В качестве второго луча удобно использовать луч, идущий без преломления вдоль главной оптической оси.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

На рис. 10 изображены две собирающие линзы. Вторая «лучше» собирает лучи, ближе их сводит, она «сильнее». Оптической силой линзы называется величина, обратная фокусному расстоянию:

Оптическая сила

Выражается оптическая сила линзы в диоптриях (дптр).


Рис. 10

Одна диоптрия — оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой 1 м.

У собирающих линз положительная оптическая сила, у рассеивающих — отрицательная.

Построение изображения предмета в собирающей линзе сводится к построению его крайних точек. В качестве предмета выберем стрелку АВ (рис. 11). Изображение точки A построено, как на рис. 7, точка B1 может быть найдена, как на рис 19. Введем обозначение (аналогичные введенным при рассмотрении зеркал): расстояние от предмета до линзы |BO| = d; расстояние от предмета до линзы изображения |BO1| = f, фокусное расстояние |OF| = F. Из подобия треугольников A1B1O и АВО (по равным острым — вертикальным — углам прямоугольные треугольники подобны) . Из подобия треугольников A1B1F и DOF (по тому же признаку подобия) . Следовательно,

или fF = dfdF.
Разделив уравнение почленно на dFf и перенеся отрицательный член в другую сторону равенства, получим:
(*)

Мы вывели формулу линзы, аналогичную формуле зеркала.

В случае рассеивающей линзы (рис. 22) «работает» ближний мнимый фокус. Обратите внимание на то, что точка А1 является точкой пересечения продолжения преломленных лучей, а не точкой пересечения преломленного луча FD и падающего луча AO.

Рис. 11

Рис. 12

Для доказательства рассмотрите луч, падающий из точки А по направлению на дальний фокус. После двойного преломления он выйдет из линзы параллельно главной оптической оси, так что его продолжение пройдет через точку А1. Изображение точки В может быть построено аналогично рис. 9. Из подобия соответствующих треугольников ; ; fF = dFdf или

Эту формулу рассеивающей линзы можно получить из (*). Для этого условимся считать положительными величины d (от предмета до линзы), f (от линзы до изображения) и F (от линзы до фокуса), если они направлены в сторону падающих лучей. Тогда в формуле (*) для собирающей линзы все члены положительны, для рассеивающей — расстояние от предмета до линзы положительно, d > 0, а расстояния от линзы до изображения и до фокуса отрицательны (f < 0, F < 0). Если перейти к абсолютным значениям расстояний, то получим

или .

Линейным увеличением линзы называется число, показывающее, во сколько раз линейные размеры изображения больше линейных размеров предмета. Из подобия рассмотренных треугольников имеем

Можно провести исследования формулы линзы, аналогичное исследованию формулы зеркала.

Как изменится изображение предмета, если его половина линзы разбилась? Изображение станет менее интенсивным, но ни его форма, ни расположение не изменятся. Аналогично изображение предмета в любом кусочке линзы или зеркала.

Для построения изображения точки в идеальной системе достаточно построить любые два луча, идущие от этой точки. Точка пересечения выходящих лучей, соответствующих этим двум падающим, будет искомым изображением данной точки.